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KOBRA - Dokumentenserver der Universität Kassel  → Fachbereiche  → FB 10 / Mathematik und Naturwissenschaften  → Institut für Mathematik  → Algorithmische Algebra und Diskrete Mathematik  → Dissertationen 

Please use this identifier to cite or link to this item: http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:hebis:34-2006110115379

Title: Some New Classes of Orthogonal Polynomials and Special Functions
Other Titles: A Symmetric Generalization of Sturm-Liouville Problems and its Consequences
Authors: Masjed-Jamei, Mohammad
???metadata.dc.subject.swd???: Sturm-Liouville-ProblemOrthogonale PolynomeSpezielle Funktion
???metadata.dc.subject.ddc???: 510 - Mathematik (Mathematics)
Issue Date: 1-Nov-2006
Abstract: In dieser Dissertation präsentieren wir zunächst eine Verallgemeinerung der üblichen Sturm-Liouville-Probleme mit symmetrischen Lösungen und erklären eine umfassendere Klasse. Dann führen wir einige neue Klassen orthogonaler Polynome und spezieller Funktionen ein, welche sich aus dieser symmetrischen Verallgemeinerung ableiten lassen. Als eine spezielle Konsequenz dieser Verallgemeinerung führen wir ein Polynomsystem mit vier freien Parametern ein und zeigen, dass in diesem System fast alle klassischen symmetrischen orthogonalen Polynome wie die Legendrepolynome, die Chebyshevpolynome erster und zweiter Art, die Gegenbauerpolynome, die verallgemeinerten Gegenbauerpolynome, die Hermitepolynome, die verallgemeinerten Hermitepolynome und zwei weitere neue endliche Systeme orthogonaler Polynome enthalten sind. All diese Polynome können direkt durch das neu eingeführte System ausgedrückt werden. Ferner bestimmen wir alle Standardeigenschaften des neuen Systems, insbesondere eine explizite Darstellung, eine Differentialgleichung zweiter Ordnung, eine generische Orthogonalitätsbeziehung sowie eine generische Dreitermrekursion. Außerdem benutzen wir diese Erweiterung, um die assoziierten Legendrefunktionen, welche viele Anwendungen in Physik und Ingenieurwissenschaften haben, zu verallgemeinern, und wir zeigen, dass diese Verallgemeinerung Orthogonalitätseigenschaft und -intervall erhält. In einem weiteren Kapitel der Dissertation studieren wir detailliert die Standardeigenschaften endlicher orthogonaler Polynomsysteme, welche sich aus der üblichen Sturm-Liouville-Theorie ergeben und wir zeigen, dass sie orthogonal bezüglich der Fisherschen F-Verteilung, der inversen Gammaverteilung und der verallgemeinerten t-Verteilung sind. Im nächsten Abschnitt der Dissertation betrachten wir eine vierparametrige Verallgemeinerung der Studentschen t-Verteilung. Wir zeigen, dass diese Verteilung gegen die Normalverteilung konvergiert, wenn die Anzahl der Stichprobe gegen Unendlich strebt. Eine ähnliche Verallgemeinerung der Fisherschen F-Verteilung konvergiert gegen die chi-Quadrat-Verteilung. Ferner führen wir im letzten Abschnitt der Dissertation einige neue Folgen spezieller Funktionen ein, welche Anwendungen bei der Lösung in Kugelkoordinaten der klassischen Potentialgleichung, der Wärmeleitungsgleichung und der Wellengleichung haben. Schließlich erklären wir zwei neue Klassen rationaler orthogonaler hypergeometrischer Funktionen, und wir zeigen unter Benutzung der Fouriertransformation und der Parsevalschen Gleichung, dass es sich um endliche Orthogonalsysteme mit Gewichtsfunktionen vom Gammatyp handelt.In this dissertation, we first present a generalization of usual Sturm-Liouville problems with symmetric solutions and determine how to generalize this kind of problems to a larger class. Then we introduce some new classes of orthogonal polynomials and special functions which are in fact consequences of symmetric generalized Sturm-Liouville problems. Especially, as one of the main consequences of this generalization, we introduce a main class of symmetric orthogonal polynomials with four free parameters and show that almost all classical symmetric orthogonal polynomials such as Legendre polynomials, first and second kinds of Chebyshev polynomials, ultraspherical polynomials, generalized ultraspherical polynomials, Hermite polynomials, generalized Hermite polynomials and two other new sequences of finite symmetric orthogonal polynomials are special subcases of this introduced class and can be expressed in terms of it directly. In this regard, we also obtain all standard materials of these polynomials such as the explicit form of the polynomials, a second order differential equation for the polynomials, a generic orthogonality relation, a generic three-term recurrence relation and so on. Moreover, using this extension we also generalize the associated Legendre functions having many applications in Physics and Engineering and show that the generalization preserves the orthogonality property and also the orthogonality interval [-1,1]. In another part of the dissertation, we study in detail the standard properties of the finite classical orthogonal polynomials as a consequence of usual Sturm-Liouville problems and show that they are finitely orthogonal with respect to the F Fisher, inverse Gamma and generalized t-distribution functions respectively. Another part of the dissertation is allocated to a generalization of Student’s t-distribution with four free parameters. It is also shown that the generalized t-distribution converges to the normal distribution when the number of samples tends to infinity. On the other hand, a similar extension of Fishers F-distribution tends to the chi-square distribution. Finally, as the last section of the dissertation, we first introduce some new sequences of special functions that have applications in the solutions of the classical potential, heat and wave equations in spherical coordinates. Two new classes of orthogonal hypergeometric functions are introduced and – using Fourier transforms and the Parseval identity – it is shown that they are finitely orthogonal with respect to two specific functions of Gamma type.
URI: urn:nbn:de:hebis:34-2006110115379
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