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KOBRA - Dokumentenserver der Universität Kassel  → Fachbereiche  → FB 10 / Mathematik und Naturwissenschaften  → Institut für Mathematik  → Analysis und Angewandte Mathematik  → Dissertationen 

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Title: Künstliche Randbedingungen und Algebraische Äquivalenzen in der Elastizitätstheorie
Authors: Langer, Susanne
???metadata.dc.subject.ddc???: 510 - Mathematik (Mathematics)
Issue Date: 18-Jul-2007
Abstract: In dieser Arbeit werden zwei Aspekte bei Randwertproblemen der linearen Elastizitätstheorie untersucht: die Approximation von Lösungen auf unbeschränkten Gebieten und die Änderung von Symmetrieklassen unter speziellen Transformationen. Ausgangspunkt der Dissertation ist das von Specovius-Neugebauer und Nazarov in "Artificial boundary conditions for Petrovsky systems of second order in exterior domains and in other domains of conical type"(Math. Meth. Appl. Sci, 2004; 27) eingeführte Verfahren zur Untersuchung von Petrovsky-Systemen zweiter Ordnung in Außenraumgebieten und Gebieten mit konischen Ausgängen mit Hilfe der Methode der künstlichen Randbedingungen. Dabei werden für die Ermittlung von Lösungen der Randwertprobleme die unbeschränkten Gebiete durch das Abschneiden mit einer Kugel beschränkt, und es wird eine künstliche Randbedingung konstruiert, um die Lösung des Problems möglichst gut zu approximieren. Das Verfahren wird dahingehend verändert, dass das abschneidende Gebiet ein Polyeder ist, da es für die Lösung des Approximationsproblems mit üblichen Finite-Element-Diskretisierungen von Vorteil sei, wenn das zu triangulierende Gebiet einen polygonalen Rand besitzt. Zu Beginn der Arbeit werden die wichtigsten funktionalanalytischen Begriffe und Ergebnisse der Theorie elliptischer Differentialoperatoren vorgestellt. Danach folgt der Hauptteil der Arbeit, der sich in drei Bereiche untergliedert. Als erstes wird für abschneidende Polyedergebiete eine formale Konstruktion der künstlichen Randbedingungen angegeben. Danach folgt der Nachweis der Existenz und Eindeutigkeit der Lösung des approximativen Randwertproblems auf dem abgeschnittenen Gebiet und im Anschluss wird eine Abschätzung für den resultierenden Abschneidefehler geliefert. An die theoretischen Ausführungen schließt sich die Betrachtung von Anwendungsbereiche an. Hier werden ebene Rissprobleme und Polarisationsmatrizen dreidimensionaler Außenraumprobleme der Elastizitätstheorie erläutert. Der letzte Abschnitt behandelt den zweiten Aspekt der Arbeit, den Bereich der Algebraischen Äquivalenzen. Hier geht es um die Transformation von Symmetrieklassen, um die Kenntnis der Fundamentallösung der Elastizitätsprobleme für transversalisotrope Medien auch für Medien zu nutzen, die nicht von transversalisotroper Struktur sind. Eine allgemeine Darstellung aller Klassen konnte hier nicht geliefert werden. Als Beispiel für das Vorgehen wird eine Klasse von orthotropen Medien im dreidimensionalen Fall angegeben, die sich auf den Fall der Transversalisotropie reduzieren lässt.In this work two aspects of boundary value problems of the theory of linear elasticity are considered: the approximation of solutions on unbounded domains and the changing of symmetry classes under special transformations. The computation of solutions to boundary value problems in unbounded domains requires the reduction to a problem on a bounded domain. A widely used method for this is to exhaust the unbounded domain by bounded domains and impose an artificial boundary condition (ABC) on the truncation surface. In general, local artificial boundary conditions lead to a truncation error – their advantage is that they can be handled numerically with finite element methods, e.g. Starting point of the thesis is a method of Specovius-Neugebauer and Nazarov presented in "Artificial boundary conditions for Petrovsky systems of second order in exterior domains and in other domains of conical type"(Math. Meth. Appl. Sci, 2004; 27). In this paper local artificial boundary conditions were presented to approximate solutions of elliptic Petrovsky systems in exterior domains and in other domains of conical type. Thereby the domain with is cut by a sphere, an artificial boundary condition is constructed based on the asymptotic behaviour of the solutions at infinity to approximate the problem as good as possible. The method is modified in that way that the truncating surface is polyhedral. The idea is, if the usual Finite-Element-Discretization is used for solving the problem, it is easier to triangulate a polyhedral than a sphere. In the first part of the work the most important functional analytical terms and results are recalled. The main part of the thesis is divided into three chapters. First a formal construction of the artificial boundary condition for the polyhedral truncated domain is specified. As the next step the existence and the uniqueness of the solution to the approximation boundary value problem on the truncated domain is shown and an asymptotically precise estimate of the truncation error is derived. Two applications are considered: a plane crack problem and the calculation of polarization matrices of three dimensional exterior elasticity problems. The last chapter discusses the second aspect of the thesis: the algebraical equivalences. It deals with the transformation between symmetry classes of different elastic media. The main idea here is to exploit the fact that affine transformations keep the structure of the system, and can be used to transform corresponding fundamental solutions, e.g.. The knowledge of a fundamental solution matrix is a basis, e.g. for boundary integral equation methods but they are known explicitly only for transversally isotropic media. In this thesis the algebraic equivalence of special orthotropic media to transversally isotropic media is shown for the three dimensional case.
URI: urn:nbn:de:hebis:34-2007071818999
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