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KOBRA - Dokumentenserver der Universität Kassel  → Fachbereiche  → FB 10 / Mathematik und Naturwissenschaften  → Institut für Mathematik  → Analysis und Angewandte Mathematik  → Dissertationen 

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Title: Nichtüberlappende Gebietszerlegungsmethoden für lineare und quasilineare (monotone und nichtmonotone) Probleme
Authors: Schreiber, Stephan
???metadata.dc.subject.swd???: GebietszerlegungsmethodeDifferentialgleichung
???metadata.dc.subject.ddc???: 510 - Mathematik (Mathematics)
Issue Date: 15-Dec-2009
Abstract: In dieser Arbeit werden nichtüberlappende Gebietszerlegungsmethoden einerseits hinsichtlich der zu lösenden Problemklassen verallgemeinert und andererseits in bisher nicht untersuchten Kontexten betrachtet. Dabei stehen funktionalanalytische Untersuchungen zur Wohldefiniertheit, eindeutigen Lösbarkeit und Konvergenz im Vordergrund. Im ersten Teil werden lineare elliptische Dirichlet-Randwertprobleme behandelt, wobei neben Problemen mit dominantem Hauptteil auch solche mit singulärer Störung desselben, wie konvektions- oder reaktionsdominante Probleme zugelassen sind. Der zweite Teil befasst sich mit (gleichmäßig) monotonen koerziven quasilinearen elliptischen Dirichlet-Randwertproblemen. In beiden Fällen wird das Lipschitz-Gebiet in endlich viele Lipschitz-Teilgebiete zerlegt, wobei insbesondere Kreuzungspunkte und Teilgebiete ohne Außenrand zugelassen sind. Anschließend werden Transmissionsprobleme mit frei wählbaren $L^{\infty}$-Parameterfunktionen hergeleitet, wobei die Konormalenableitungen als Funktionale auf geeigneten Funktionenräumen über den Teilrändern ($H_{00}^{1/2}(\Gamma)$) interpretiert werden. Die iterative Lösung dieser Transmissionsprobleme mit einem Ansatz von Deng führt auf eine Substrukturierungsmethode mit Robin-artigen Transmissionsbedingungen, bei der eine Auswertung der Konormalenableitungen aufgrund einer geschickten Aufdatierung der Robin-Daten nicht notwendig ist (insbesondere ist die bekannte Robin-Robin-Methode von Lions als Spezialfall enthalten). Die Konvergenz bezüglich einer partitionierten $H^1$-Norm wird für beide Problemklassen gezeigt. Dabei werden keine über $H^1$ hinausgehende Regularitätsforderungen an die Lösungen gestellt und die Gebiete müssen keine zusätzlichen Glattheitsvoraussetzungen erfüllen. Im letzten Kapitel werden nichtmonotone koerzive quasilineare Probleme untersucht, wobei das Zugrunde liegende Gebiet nur in zwei Lipschitz-Teilgebiete zerlegt sein soll. Das zugehörige nichtlineare Transmissionsproblem wird durch Kirchhoff-Transformation in lineare Teilprobleme mit nichtlinearen Kopplungsbedingungen überführt. Ein optimierungsbasierter Lösungsansatz, welcher einen geeigneten Abstand der rücktransformierten Dirichlet-Daten der linearen Teilprobleme auf den Teilrändern minimiert, führt auf ein optimales Kontrollproblem. Die dabei entstehenden regularisierten freien Minimierungsprobleme werden mit Hilfe eines Gradientenverfahrens unter minimalen Glattheitsforderungen an die Nichtlinearitäten gelöst. Unter zusätzlichen Glattheitsvoraussetzungen an die Nichtlinearitäten und weiteren technischen Voraussetzungen an die Lösung des quasilinearen Ausgangsproblems, kann zudem die quadratische Konvergenz des Newton-Verfahrens gesichert werden.In this thesis nonoverlapping domain decomposition methods are on the one hand generalized regarding the problem categories that can be solved and on the other hand examined in contexts which have not been regarded so far. Functional analytic investigations with respect to well-definedness, unique solvability and convergence are in the center of attention. In the first part linear elliptic Dirichlet boundary value problems are treated, where apart from problems with dominant main part also such with singular perturbation, i.e. convection or reaction dominant problems, are admitted. The second part is concerned with (uniformly) monotone coercive quasilinear elliptic Dirichlet boundary value problems. In both cases the Lipschitz-domain is divided into finitely many Lipschitz-subdomains, whereby in particular crosspoints and subdomains without exterior boundary are allowed. Subsequently, transmission problems with freely chosen $L^{\infty}$ parameter functions are deduced, where the conormal derivatives are interpreted as functionals on suitable function spaces over the partial boundaries ($H_{00}^{1/2}(\Gamma)$). The iterative solution of these transmission problems with an ansatz of Deng leads to a substructuring method with Robin-type transmission conditions in which an evaluation of the conormal derivatives is not necessary, due to an appropriate update strategy of the Robin data. Particularly, this method is a generalization of the well-known Robin-Robin method of Lions. The convergence with respect to a partitioned $H^1$-norm is shown for both problem classes. Here, no regularity of the solutions beyond $H^1$ is demanded and the domains need not to fulfill additional smoothness conditions. In the last chapter nonmonotone coercive quasilinear problems are considered, where the initial domain is divided into two Lipschitz-subdomains only. The associated nonlinear transmission problem is Kirchhoff-transformed into two linear subproblems with nonlinear coupling conditions. An optimization based approach, which minimizes a suitable distance of the inverse transformed Dirichlet-data of the linear subproblems on the partial boundaries, leads to an optimal control problem. Using a gradient method, the emerging free minimization problems are solved under minimal smoothness conditions for the nonlinearities. With additional smoothness of the nonlinearities and further technical assumptions for the solution of the governing quasilinear problem, one can also ensure the square convergence of Newton's method.
URI: urn:nbn:de:hebis:34-2009121531505
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