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KOBRA - Dokumentenserver der Universität Kassel  → Fachbereiche  → FB 10 / Mathematik und Naturwissenschaften  → Institut für Mathematik  → Analysis und Angewandte Mathematik  → Dissertationen 

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http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:hebis:34-2010101234699

Titel: Estimators and Tests based on Likelihood-Depth with Application to Weibull Distribution, Gaussian and Gumbel Copula
Autor(en): Denecke, Liesa
Schlagworte (SWD): DatentiefeParameterschätzungWeibull-VerteilungRobuste StatistikSchätzfunktion
Klassifikation (DDC): 510 - Mathematik (Mathematics)
Erscheinungsdatum: 12-Okt-2010
Zusammenfassung: In dieser Arbeit werden mithilfe der Likelihood-Tiefen, eingeführt von Mizera und Müller (2004), (ausreißer-)robuste Schätzfunktionen und Tests für den unbekannten Parameter einer stetigen Dichtefunktion entwickelt. Die entwickelten Verfahren werden dann auf drei verschiedene Verteilungen angewandt. Für eindimensionale Parameter wird die Likelihood-Tiefe eines Parameters im Datensatz als das Minimum aus dem Anteil der Daten, für die die Ableitung der Loglikelihood-Funktion nach dem Parameter nicht negativ ist, und dem Anteil der Daten, für die diese Ableitung nicht positiv ist, berechnet. Damit hat der Parameter die größte Tiefe, für den beide Anzahlen gleich groß sind. Dieser wird zunächst als Schätzer gewählt, da die Likelihood-Tiefe ein Maß dafür sein soll, wie gut ein Parameter zum Datensatz passt. Asymptotisch hat der Parameter die größte Tiefe, für den die Wahrscheinlichkeit, dass für eine Beobachtung die Ableitung der Loglikelihood-Funktion nach dem Parameter nicht negativ ist, gleich einhalb ist. Wenn dies für den zu Grunde liegenden Parameter nicht der Fall ist, ist der Schätzer basierend auf der Likelihood-Tiefe verfälscht. In dieser Arbeit wird gezeigt, wie diese Verfälschung korrigiert werden kann sodass die korrigierten Schätzer konsistente Schätzungen bilden. Zur Entwicklung von Tests für den Parameter, wird die von Müller (2005) entwickelte Simplex Likelihood-Tiefe, die eine U-Statistik ist, benutzt. Es zeigt sich, dass für dieselben Verteilungen, für die die Likelihood-Tiefe verfälschte Schätzer liefert, die Simplex Likelihood-Tiefe eine unverfälschte U-Statistik ist. Damit ist insbesondere die asymptotische Verteilung bekannt und es lassen sich Tests für verschiedene Hypothesen formulieren. Die Verschiebung in der Tiefe führt aber für einige Hypothesen zu einer schlechten Güte des zugehörigen Tests. Es werden daher korrigierte Tests eingeführt und Voraussetzungen angegeben, unter denen diese dann konsistent sind. Die Arbeit besteht aus zwei Teilen. Im ersten Teil der Arbeit wird die allgemeine Theorie über die Schätzfunktionen und Tests dargestellt und zudem deren jeweiligen Konsistenz gezeigt. Im zweiten Teil wird die Theorie auf drei verschiedene Verteilungen angewandt: Die Weibull-Verteilung, die Gauß- und die Gumbel-Copula. Damit wird gezeigt, wie die Verfahren des ersten Teils genutzt werden können, um (robuste) konsistente Schätzfunktionen und Tests für den unbekannten Parameter der Verteilung herzuleiten. Insgesamt zeigt sich, dass für die drei Verteilungen mithilfe der Likelihood-Tiefen robuste Schätzfunktionen und Tests gefunden werden können. In unverfälschten Daten sind vorhandene Standardmethoden zum Teil überlegen, jedoch zeigt sich der Vorteil der neuen Methoden in kontaminierten Daten und Daten mit Ausreißern.Robust estimators and tests based on the likelihood-depths introduced by Mizera and Müller (2004) are developed for the unknown parameter of a continuous density function. The methods are used for three different distributions. The likelihood-depth is calculated for a one-dimensional parameter by the minimum of the number of data for that the derivative of the log-likelihoodfunction with respect to the parameter is non-negative and the number of data for that this derivative is non-positive. Thus, that parameter has maximum depth for that these numbers are equal. This parameter is choosen as the estimator, as the likelihood-depth shall be a measure for how well a parameter fits the data. Asymptotically that parameter has maximum depth for that the probability that for an observation the derivative of the log-likelihoodfunction is non-negative is equal to onehalf. If this is not the case for the real parameter, the maximum likelihood-depth estimator is a biased estimator. It is shown in this work how the bias can be corrected such that the corrected estimator is a consistent estimator. Tests are developed by using the simplicial likelihood-depth, introduced by Müller (2005). We use the fact that the simplicial depth is a U-statistic and that for the cases where the maximum likelihood-depth estimator is biased it is even a non-degenerated U-statistic. Thus, the asymptotic distribution is normal and tests can be enunciated for different hypotheses. But the deviation in the depth leeds to bad power in some of the hypotheses. Therefore corrected tests are introduced and it is shown that these tests are consistent. The thesis is divided into two parts. The first part deals with the general theory about the estimators and tests based on likelihood-depth. Consistency of both, estimators and tests, are proven under some assumptions on the distribution. In the second part the theory of the first part is used for three different distributions: the one-dimensional Weibull-distribution that is depending on two parameters, the two-dimensional Gaussian- and Gumbel-copula that both depend only on one parameter. For all three distributions robust estimators and tests can be found that are superior to standard method in contaminated data, what is shown in some simulation studies.
URI: urn:nbn:de:hebis:34-2010101234699
Sammlung(en):Dissertationen

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