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KOBRA - Dokumentenserver der Universität Kassel  → Fachbereiche  → FB 10 / Mathematik und Naturwissenschaften  → Institut für Mathematik  → Analysis und Angewandte Mathematik  → Dissertationen 

Please use this identifier to cite or link to this item: http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:hebis:34-2012081741638

Titel: A High Order Finite Volume Scheme for the 2D Shallow Water Equations Including Topography
Autor(en): Messerschmidt, Bettina Charlotte
Schlagworte (SWD): StrömungsmechanikHyperbolische DifferentialgleichungPartielle DifferentialgleichungNumerische Mathematik
Klassifikation (DDC): 510 - Mathematik (Mathematics)
Issue Date: 17-Aug-2012
Zusammenfassung: Inhalt dieser Arbeit ist ein Verfahren zur numerischen Lösung der zweidimensionalen Flachwassergleichung, welche das Fließverhalten von Gewässern, deren Oberflächenausdehnung wesentlich größer als deren Tiefe ist, modelliert. Diese Gleichung beschreibt die gravitationsbedingte zeitliche Änderung eines gegebenen Anfangszustandes bei Gewässern mit freier Oberfläche. Diese Klasse beinhaltet Probleme wie das Verhalten von Wellen an flachen Stränden oder die Bewegung einer Flutwelle in einem Fluss. Diese Beispiele zeigen deutlich die Notwendigkeit, den Einfluss von Topographie sowie die Behandlung von Nass/Trockenübergängen im Verfahren zu berücksichtigen. In der vorliegenden Dissertation wird ein, in Gebieten mit hinreichender Wasserhöhe, hochgenaues Finite-Volumen-Verfahren zur numerischen Bestimmung des zeitlichen Verlaufs der Lösung der zweidimensionalen Flachwassergleichung aus gegebenen Anfangs- und Randbedingungen auf einem unstrukturierten Gitter vorgestellt, welches in der Lage ist, den Einfluss topographischer Quellterme auf die Strömung zu berücksichtigen, sowie in sogenannten \glqq lake at rest\grqq-stationären Zuständen diesen Einfluss mit den numerischen Flüssen exakt auszubalancieren. Basis des Verfahrens ist ein Finite-Volumen-Ansatz erster Ordnung, welcher durch eine WENO Rekonstruktion unter Verwendung der Methode der kleinsten Quadrate und eine sogenannte Space Time Expansion erweitert wird mit dem Ziel, ein Verfahren beliebig hoher Ordnung zu erhalten. Die im Verfahren auftretenden Riemannprobleme werden mit dem Riemannlöser von Chinnayya, LeRoux und Seguin von 1999 gelöst, welcher die Einflüsse der Topographie auf den Strömungsverlauf mit berücksichtigt. Es wird in der Arbeit bewiesen, dass die Koeffizienten der durch das WENO-Verfahren berechneten Rekonstruktionspolynome die räumlichen Ableitungen der zu rekonstruierenden Funktion mit einem zur Verfahrensordnung passenden Genauigkeitsgrad approximieren. Ebenso wird bewiesen, dass die Koeffizienten des aus der Space Time Expansion resultierenden Polynoms die räumlichen und zeitlichen Ableitungen der Lösung des Anfangswertproblems approximieren. Darüber hinaus wird die wohlbalanciertheit des Verfahrens für beliebig hohe numerische Ordnung bewiesen. Für die Behandlung von Nass/Trockenübergangen wird eine Methode zur Ordnungsreduktion abhängig von Wasserhöhe und Zellgröße vorgeschlagen. Dies ist notwendig, um in der Rechnung negative Werte für die Wasserhöhe, welche als Folge von Oszillationen des Raum-Zeit-Polynoms auftreten können, zu vermeiden. Numerische Ergebnisse die die theoretische Verfahrensordnung bestätigen werden ebenso präsentiert wie Beispiele, welche die hervorragenden Eigenschaften des Gesamtverfahrens in der Berechnung herausfordernder Probleme demonstrieren.This thesis is concerned with the numerical simulation of the two dimensional shallow water equations, which are valid for water bodies whose depth is very small compared to their surface dimensions. These equations generally describe the gravity induced time evolution of water flows with a free surface for given initial conditions. This class contains problems like the behavior of waves on shallow beaches or flood waves in rivers. These examples show that the treatment of bottom topography as well as dry zones is an interesting feature in this context. In this thesis, a numerical scheme for the two dimensional shallow water equations is presented that is of arbitrary high order in sufficiently wet, smooth regions of the solution and operates on unstructured grids. The scheme can cope with source terms induced by topography, and with dry bed regions. Moreover, it is well balanced for still water steady states. A first order two-dimensional Finite Volume scheme for unstructured grids serves as a basis for the scheme. It is extended to a high order scheme by applying a least squares WENO scheme for the spatial and a Space Time Expansion for the temporal resolution. Moreover, a special Riemann solver, that was developed by Chinnayya, LeRoux and Seguin in 1999, is employed to cope with the influence of topographical source terms. It is proven rigorously, that the coefficients of the polynomials obtained by the WENO reconstruction approximate the spatial derivatives of the solution of the initial value problem at a given time to a certain order. It is also proven that the coefficients of the Space Time polynomial approximate the space-time derivatives of the initial value problem. Moreover, the well balanced-ness of the scheme for lake-at-rest states was proven for arbitrary high numerical order. Concerning the solution of dry bed problems, a method to reduce the order of the scheme in regions with, compared to the diameter of the grid's cells, very shallow water is introduced. This was done in order to avoid negative values for the water height in the scheme due to oscillations of the Space Time polynomial. Numerical results that confirm the theoretical results concerning the order of the scheme are given, as well as examples that show the scheme's excellent ability to solve even very demanding initial problems.
URI: urn:nbn:de:hebis:34-2012081741638
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