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KOBRA - Dokumentenserver der Universität Kassel  → Fachbereiche  → FB 10 / Mathematik und Naturwissenschaften  → Institut für Mathematik  → Analysis und Angewandte Mathematik  → Dissertationen 

Please use this identifier to cite or link to this item: http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:hebis:34-2014112846541

Title: Time Discretization of the SST-generalized Navier-Stokes Equations: Positive and Negative Results
Authors: Zanger, Florian
???metadata.dc.subject.swd???: Navier-Stokes-GleichungFinite-Differenzen-Methode
???metadata.dc.subject.ddc???: 510 - Mathematik (Mathematics)
Issue Date: 28-Nov-2014
Abstract: In the theory of the Navier-Stokes equations, the proofs of some basic known results, like for example the uniqueness of solutions to the stationary Navier-Stokes equations under smallness assumptions on the data or the stability of certain time discretization schemes, actually only use a small range of properties and are therefore valid in a more general context. This observation leads us to introduce the concept of SST spaces, a generalization of the functional setting for the Navier-Stokes equations. It allows us to prove (by means of counterexamples) that several uniqueness and stability conjectures that are still open in the case of the Navier-Stokes equations have a negative answer in the larger class of SST spaces, thereby showing that proof strategies used for a number of classical results are not sufficient to affirmatively answer these open questions. More precisely, in the larger class of SST spaces, non-uniqueness phenomena can be observed for the implicit Euler scheme, for two nonlinear versions of the Crank-Nicolson scheme, for the fractional step theta scheme, and for the SST-generalized stationary Navier-Stokes equations. As far as stability is concerned, a linear version of the Euler scheme, a nonlinear version of the Crank-Nicolson scheme, and the fractional step theta scheme turn out to be non-stable in the class of SST spaces. The positive results established in this thesis include the generalization of classical uniqueness and stability results to SST spaces, the uniqueness of solutions (under smallness assumptions) to two nonlinear versions of the Euler scheme, two nonlinear versions of the Crank-Nicolson scheme, and the fractional step theta scheme for general SST spaces, the second order convergence of a version of the Crank-Nicolson scheme, and a new proof of the first order convergence of the implicit Euler scheme for the Navier-Stokes equations. For each convergence result, we provide conditions on the data that guarantee the existence of nonstationary solutions satisfying the regularity assumptions needed for the corresponding convergence theorem. In the case of the Crank-Nicolson scheme, this involves a compatibility condition at the corner of the space-time cylinder, which can be satisfied via a suitable prescription of the initial acceleration.In der Theorie der Navier-Stokes-Gleichungen greifen die Beweise einiger grundlegender bekannter Resultate, wie z.B. der Eindeutigkeit von Lösungen der stationären Navier-Stokes-Gleichungen unter Kleinheitsannahmen an die Daten oder der Stabilität einiger Zeitdiskretisierungsschemata, auf einen bei genauerem Hinsehen nur kleinen Vorrat an Eigenschaften zurück und sind daher in einem allgemeineren Rahmen gültig. Diese Feststellung veranlasst uns zur Einführung des Begriffs der SST-Räume, einer Verallgemeinerung des funktionalanalytischen Rahmens für die Navier-Stokes-Gleichungen. Er versetzt uns in die Lage, anhand von Gegenbeispielen zu beweisen, dass verschiedene Eindeutigkeits- und Stabilitätsvermutungen, die im Falle der Navier-Stokes-Gleichungen noch offen sind, in der größeren Klasse der SST-Räume falsch sind und damit zu zeigen, dass die für eine Reihe von klassischen Resultaten verwendeten Beweisstrategien zur positiven Beantwortung dieser offenen Fragen nicht ausreichen. Genauer gesagt treten Nichteindeutigkeitsphänomene in der größeren Klasse der SST-Räume beim impliziten Euler-Schema, bei zwei nichtlinearen Versionen des Crank-Nicolson-Schemas, beim Fractional-Step-Theta-Schema und bei den SST-verallgemeinerten stationären Navier-Stokes-Gleichungen auf. Was Stabilität betrifft, erweisen sich eine lineare Version des Euler-Schemas, eine nichtlineare Version des Crank-Nicolson-Schemas und das Fractional-Step-Theta-Schema in der Klasse der SST-Räume als nicht stabil. Zu den in der Dissertation gezeigten positiven Resultaten gehören die Verallgemeinerung klassischer Eindeutigkeits- und Stabilitätsresultate auf SST-Räume, die Eindeutigkeit (unter Kleinheitsannahmen) von Lösungen zweier nichtlinearer Versionen des Euler-Schemas, zweier nichtlinearer Versionen des Crank-Nicolson-Schemas und des Fractional-Step-Theta-Schemas für allgemeine SST-Räume, die Konvergenz zweiter Ordnung einer Version des Crank-Nicolson-Schemas und ein neuer Beweis der Konvergenz erster Ordnung des impliziten Euler-Schemas für die Navier-Stokes-Gleichungen. Zu jedem Konvergenzresultat geben wir Bedingungen an die Daten an, die die Existenz nichtstationärer Lösungen mit der für den jeweiligen Konvergenzsatz benötigten Regularität sichern. Im Falle des Crank-Nicolson-Schemas zählen dazu auch Kompatibilitätsbedingungen an den Ecken des Raum-Zeit-Zylinders, die durch geeignetes Vorschreiben einer Anfangsbeschleunigung erfüllt werden können.
URI: urn:nbn:de:hebis:34-2014112846541
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