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KOBRA - Dokumentenserver der Universität Kassel  → Fachbereiche  → FB 10 / Mathematik und Naturwissenschaften  → Institut für Mathematik  → Algorithmische Algebra und Diskrete Mathematik  → Dissertationen 

Please use this identifier to cite or link to this item: http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:hebis:34-2016030349960

Title: Identifikation spezieller Funktionen, die durch Rodriguesformeln gegeben sind
Authors: Fischer, Kornelia Karla
???metadata.dc.subject.swd???: Rodrigues-FormelRekursionsformelAnalysis
???metadata.dc.subject.ddc???: 510 - Mathematik (Mathematics)
Issue Date: 3-Mar-2016
Abstract: Es ist allgemein bekannt, dass sich zwei gegebene Systeme spezieller Funktionen durch Angabe einer Rekursionsgleichung und entsprechend vieler Anfangswerte identifizieren lassen, denn computeralgebraisch betrachtet hat man damit eine Normalform vorliegen. Daher hat sich die interessante Forschungsfrage ergeben, Funktionensysteme zu identifizieren, die über ihre Rodriguesformel gegeben sind. Zieht man den in den 1990er Jahren gefundenen Zeilberger-Algorithmus für holonome Funktionenfamilien hinzu, kann die Rodriguesformel algorithmisch in eine Rekursionsgleichung überführt werden. Falls die Funktionenfamilie überdies hypergeometrisch ist, sogar laufzeiteffizient. Um den Zeilberger-Algorithmus überhaupt anwenden zu können, muss es gelingen, die Rodriguesformel in eine Summe umzuwandeln. Die vorliegende Arbeit beschreibt die Umwandlung einer Rodriguesformel in die genannte Normalform für den kontinuierlichen, den diskreten sowie den q-diskreten Fall vollständig. Das in Almkvist und Zeilberger (1990) angegebene Vorgehen im kontinuierlichen Fall, wo die in der Rodriguesformel auftauchende n-te Ableitung über die Cauchysche Integralformel in ein komplexes Integral überführt wird, zeigt sich im diskreten Fall nun dergestalt, dass die n-te Potenz des Vorwärtsdifferenzenoperators in eine Summenschreibweise überführt wird. Die Rekursionsgleichung aus dieser Summe zu generieren, ist dann mit dem diskreten Zeilberger-Algorithmus einfach. Im q-Fall wird dargestellt, wie Rekursionsgleichungen aus vier verschiedenen q-Rodriguesformeln gewonnen werden können, wobei zunächst die n-te Potenz der jeweiligen q-Operatoren in eine Summe überführt wird. Drei der vier Summenformeln waren bislang unbekannt. Sie wurden experimentell gefunden und per vollständiger Induktion bewiesen. Der q-Zeilberger-Algorithmus erzeugt anschließend aus diesen Summen die gewünschte Rekursionsgleichung. In der Praxis ist es sinnvoll, den schnellen Zeilberger-Algorithmus anzuwenden, der Rekursionsgleichungen für bestimmte Summen über hypergeometrische Terme ausgibt. Auf dieser Fassung des Algorithmus basierend wurden die Überlegungen in Maple realisiert. Es ist daher sinnvoll, dass alle hier aufgeführten Prozeduren, die aus kontinuierlichen, diskreten sowie q-diskreten Rodriguesformeln jeweils Rekursionsgleichungen erzeugen, an den hypergeometrischen Funktionenfamilien der klassischen orthogonalen Polynome, der klassischen diskreten orthogonalen Polynome und an der q-Hahn-Klasse des Askey-Wilson-Schemas vollständig getestet werden. Die Testergebnisse liegen tabellarisch vor. Ein bedeutendes Forschungsergebnis ist, dass mit der im q-Fall implementierten Prozedur zur Erzeugung einer Rekursionsgleichung aus der Rodriguesformel bewiesen werden konnte, dass die im Standardwerk von Koekoek/Lesky/Swarttouw(2010) angegebene Rodriguesformel der Stieltjes-Wigert-Polynome nicht korrekt ist. Die richtige Rodriguesformel wurde experimentell gefunden und mit den bereitgestellten Methoden bewiesen. Hervorzuheben bleibt, dass an Stelle von Rekursionsgleichungen analog Differential- bzw. Differenzengleichungen für die Identifikation erzeugt wurden. Wie gesagt gehört zu einer Normalform für eine holonome Funktionenfamilie die Angabe der Anfangswerte. Für den kontinuierlichen Fall wurden umfangreiche, in dieser Gestalt in der Literatur noch nie aufgeführte Anfangswertberechnungen vorgenommen. Im diskreten Fall musste für die Anfangswertberechnung zur Differenzengleichung der Petkovsek-van-Hoeij-Algorithmus hinzugezogen werden, um die hypergeometrischen Lösungen der resultierenden Rekursionsgleichungen zu bestimmen. Die Arbeit stellt zu Beginn den schnellen Zeilberger-Algorithmus in seiner kontinuierlichen, diskreten und q-diskreten Variante vor, der das Fundament für die weiteren Betrachtungen bildet. Dabei wird gebührend auf die Unterschiede zwischen q-Zeilberger-Algorithmus und diskretem Zeilberger-Algorithmus eingegangen. Bei der praktischen Umsetzung wird Bezug auf die in Maple umgesetzten Zeilberger-Implementationen aus Koepf(1998/2014) genommen. Die meisten der umgesetzten Prozeduren werden im Text dokumentiert. Somit wird ein vollständiges Paket an Algorithmen bereitgestellt, mit denen beispielsweise Formelsammlungen für hypergeometrische Funktionenfamilien überprüft werden können, deren Rodriguesformeln bekannt sind. Gleichzeitig kann in Zukunft für noch nicht erforschte hypergeometrische Funktionenklassen die beschreibende Rekursionsgleichung erzeugt werden, wenn die Rodriguesformel bekannt ist.It is well-known that two given systems of special functions can be identified by a common recurrence equation and suitably many initial values, since from the computer algebra point of view this represents a normal form. This led to the research question to identify systems of special functions that are given by a Rodrigues type formula. Combining the above with the celebrated Zeilberger algorithm for holonomic families published in 1990, the Rodrigues type formula can be converted algorithmically towards a recurrence equation. If the function family is hypergeometric, then the fast Zeilberger algorithm applies which is very efficient. To be able to apply Zeilberger's algorithm, the given Rodrigues formula must be converted towards a sum. This PhD dissertation describes the conversion of a Rodrigues formula in the mentioned normal form for the continuous, the discrete and for the q-discrete case. The method given by Almkvist und Zeilberger (1990) for the continuous case, where the n-th derivative occurring in the Rodrigues formula is converted into a complex integral using the Cauchy integral formula, is translated in the discrete case to a method such that the n-th power of the forward difference operator is converted towards a sum. Then the generation of the desired recurrence equation can be reached easily using Zeilbeger's algorithm. In the q-case we show how recurrence equations can be generated for four different types of Rodrigues formulae. In this case, the n-th power of the corresponding q-operator is converted towards a sum. Three of the four sum formulas were not known and were found experimentally and proved by mathematical induction. Finally the q-variant of Zeilberger's algorithm generates the desired recurrence equation. In practice one should use Zeilberger's fast algorithm to compute recurrence equations for hypergeometric sums. The implementations of this dissertation are based on this approach. Therefore the idea was realized to test all implemented procedures that generate recurrence equations for continuous, discrete and q-discrete Rodrigues formulas for all classical hypergeometric families of orthogonal polynomials and for the complete q-Hahn class of the Askey-Wilson scheme. The test results are presented in tabular form. One important special research result is the fact that the automatic use of our method disproved a result given in Koekoek/Lesky/Swarttouw (2010), namely the Rodrigues formula for the Stieltjes-Wigert polynomials. The corrected Rodrigues formula for the Stieltjes-Wigert polynomials was then found experimentally and proved by our standard technique. We would like to emphasize that a similar technique can be established which works with differential equations instead of recurrence equations for identification purposes. As stated above, the normal form computation for a holonomic family needs the computation of initial values. For the continuous case we did many initial value computations that were not done previously in the literature. In the discrete case some of the initial value computations needed the use of the Petkovsek-van-Hoeij algorithm to compute the hypergeometric solutions of resulting recurrence equations. The thesis starts with a short description of the fast Zeilberger algorithm in its continuous, discrete and q-discrete variants since this algorithm is fundamental for the further considerations. The practical implementation in Maple uses the Zeilberger implementations given in Koepf (1998/2014). Most of the resulting procedures are documented in the text. Therefore a complete package of algorithms is provided with which formula collections for hypergeometric families involving Rodrigues formulae can be checked automatically. At the same time the describing recurrence equations of families given by Rodrigues formulae can be detected in future research.
URI: urn:nbn:de:hebis:34-2016030349960
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