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KOBRA - Dokumentenserver der Universität Kassel  → Fachbereiche  → FB 10 / Mathematik und Naturwissenschaften  → Institut für Mathematik  → Analysis und Angewandte Mathematik  → Dissertationen 

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Title: Variationelle Zeitdiskretisierungen höherer Ordnung der Konvektions-Diffusions-Reaktions-Gleichungen in zeitabhängigen Gebieten
Authors: Adrigal, Khalid
???metadata.dc.subject.swd???: Numerische MathematikPartielle DifferentialgleichungFinite-Elemente-MethodeGalerkin-Methode
???metadata.dc.subject.ddc???: 510 - Mathematik (Mathematics)
Issue Date: 11-Aug-2016
Abstract: Wir betrachten zeitabhängige Konvektions-Diffusions-Reaktions-Gleichungen in zeitabhängi- gen Gebieten, wobei die Bewegung des Gebietsrandes bekannt ist. Die zeitliche Entwicklung des Gebietes wird durch die ALE-Formulierung behandelt, die die Nachteile der klassischen Euler- und Lagrange-Betrachtungsweisen behebt. Die Position des Randes und seine Geschwindigkeit werden dabei so in das Gebietsinnere fortgesetzt, dass starke Gitterdeformationen verhindert werden. Als Zeitdiskretisierungen höherer Ordnung werden stetige Galerkin-Petrov-Verfahren (cGP) und unstetige Galerkin-Verfahren (dG) auf Probleme in zeitabhängigen Gebieten angewendet. Weiterhin werden das C 1 -stetige Galerkin-Petrov-Verfahren und das C 0 -stetige Galerkin- Verfahren vorgestellt. Deren Lösungen lassen sich auch in zeitabhängigen Gebieten durch ein einfaches einheitliches Postprocessing aus der Lösung des cGP-Problems bzw. dG-Problems erhalten. Für Problemstellungen in festen Gebieten und mit zeitlich konstanten Konvektions- und Reaktionstermen werden Stabilitätsresultate sowie optimale Fehlerabschätzungen für die nachbereiteten Lösungen der cGP-Verfahren und der dG-Verfahren angegeben. Für zeitabhängige Konvektions-Diffusions-Reaktions-Gleichungen in zeitabhängigen Gebieten präsentieren wir konservative und nicht-konservative Formulierungen, wobei eine besondere Aufmerksamkeit der Behandlung der Zeitableitung und der Gittergeschwindigkeit gilt. Stabilität und optimale Fehlerschätzungen für die in der Zeit semi-diskretisierten konservativen und nicht-konservativen Formulierungen werden vorgestellt. Abschließend wird das volldiskretisierte Problem betrachtet, wobei eine Finite-Elemente-Methode zur Ortsdiskretisierung der Konvektions-Diffusions-Reaktions-Gleichungen in zeitabhängigen Gebieten im ALE-Rahmen einbezogen wurde. Darüber hinaus wird eine lokale Projektionsstabilisierung (LPS) eingesetzt, um der Konvektionsdominanz Rechnung zu tragen. Weiterhin wird numerisch untersucht, wie sich die Approximation der Gebietsgeschwindigkeit auf die Genauigkeit der Zeitdiskretisierungsverfahren auswirkt.We consider time-dependent convection-diffusion-reaction equations in time-dependent domains where the movement of the domain boundary is a priori known. The temporal development of the domain is treated by the arbitrary Lagrangian-Eulerian formulation (ALE) to overcome the disadvantages of the classical Euler and Lagrangian approaches. The position of the domain boundary and its velocity are extended into the domain in such a way that strong mesh deformations are prevented. As higher order time discretizations, continuous Galerkin-Petrov methods (cGP) and discontinuous Galerkin methods (dG) are applied to problems in time-dependent domains. Furthermore, the C1-continuous Galerkin-Petrov method and the C0-continuous Galerkin methods are presented. Their solutions could be obtained, also in time-dependent domains, by a simple uniform post-processing from the solution of the cGP-problem or dG-problem, respectively. For problems in fixed domain and with temporally constant convection and reaction terms, stability results and optimal error estimates for the post-processed solutions of cGP and dG methods are given. We present for time-dependent convection-diffusion-reaction equations in time-dependent domains both conservative and non-conservative formulations with special attention to the treatment of the time derivative and the mesh velocity. Stability and optimal error estimates for the temporally semi-discretized conservative and non-conservative formulations are presented. Finally, the fully discrete problem with a finite element method as spatial discretization of the convection-diffusion-reaction equation in time-dependent domains was considered in the ALE framework. In addition, a local projection stabilization (LPS) is applied to handle the dominant convection. Furthermore, we investigate numerically how the approximation of the mesh velocity influences the accuracy of the time discretizations.
URI: urn:nbn:de:hebis:34-2016081150665
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