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KOBRA - Dokumentenserver der Universität Kassel  → Fachbereiche  → FB 10 / Mathematik und Naturwissenschaften  → Institut für Mathematik  → Algorithmische Algebra und Diskrete Mathematik  → Dissertationen 

Please use this identifier to cite or link to this item: http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:hebis:34-2016110251238

Title: Free Resolutions from Involutive Bases
Authors: Fetzer, Matthias
???metadata.dc.subject.swd???: AlgebraDiskrete Morse-TheorieGröbner-BasisBetti-Zahl
???metadata.dc.subject.ddc???: 510 - Mathematik (Mathematics)
Issue Date: 2-Nov-2016
Abstract: We show that the theory of involutive bases can be combined with discrete algebraic Morse Theory. For a graded k[x0 ...,xn]-module M, this yields a free resolution G, which in general is not minimal. We see that G is isomorphic to the resolution induced by an involutive basis. It is possible to identify involutive bases inside the resolution G. The shape of G is given by a concrete description. Regarding the differential dG, several rules are established for its computation, which are based on the fact that in the computation of dG certain patterns appear at several positions. In particular, it is possible to compute the constants independent of the remainder of the differential. This allows us, starting from G, to determine the Betti numbers of M without computing a minimal free resolution: Thus we obtain a new algorithm to compute Betti numbers. This algorithm has been implemented in CoCoALib by Mario Albert. This way, in comparison to some other computer algebra system, Betti numbers can be computed faster in most of the examples we have considered. For Veronese subrings S(d), we have found a Pommaret basis, which yields new proofs for some known properties of these rings. Via the theoretical statements found for G, we can identify some generators of modules in G where no constants appear. As a direct consequence, some non-vanishing Betti numbers of S(d) can be given. Finally, we give a proof of the Hyperplane Restriction Theorem with the help of Pommaret bases. This part is largely independent of the other parts of this work.Wir zeigen, dass sich die Theorie involutiver Basen mit diskreter algebraischer Morse-Theorie kombinieren lässt. Für einen graduierten k[x0,..., xn]-Modul M ergibt sich daraus eine freie Auflösung G, die im Allgemeinen nicht minimal ist. Es zeigt sich, dass G isomorph zu der Auflösung ist, die durch involutive Bases induziert wird. In der Auflösung G können ebenfalls involutive Basen identifiziert werden. Die Form von G wird konkret beschrieben. Für das Differential dG werden diverse Rechenregeln etabliert, die darauf beruhen, dass bei der Berechnung von dG diverse Muster an verschiedenen Stellen auftreten. Insbesondere ist die Berechnung der Konstanten unabhängig vom Rest des Differentials möglich. Diese Tatsache erlaubt es, ausgehend von G, die Betti-Zahlen vonMzu berechnen, ohne eine minimale freie Auflösung berechnen zu müssen: Daraus ergibt sich ein neuer Algorithmus zur Berechnung von Betti-Zahlen. Dieser Algorithmus wurde von Mario Albert in CoCoALib implementiert. Im Vergleich mit einigen anderen Computeralgebrasystemen können so in den meisten betrachteten Beispielen die Betti-Zahlen schneller berechnet werden. Für Veronese-Unterringe S(d) haben wir eine Pommaret-Basis gefunden, woraus sich neue Beweise für einige bekannte Eigenschaften dieser Ringe ergeben. Mittels der zu G gefundenen theoretischen Aussagen können durch diese Betti- Zahlen einige Erzeuger von Moduln in G (für Veronese-Unterringe) identifiziert werden, bei denen keine Konstanten auftreten. Als direkte Konsequenz lassen sich einige nicht-verschwindende Betti-Zahlen von S(d) angeben. Zum Abschluss geben wir noch einen Beweis des Hyperplane Restriction Theorems mit Hilfe von Pommaret-Basen.
URI: urn:nbn:de:hebis:34-2016110251238
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