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KOBRA - Dokumentenserver der Universität Kassel  → Fachbereiche  → FB 10 / Mathematik und Naturwissenschaften  → Institut für Mathematik  → Algorithmische Algebra und Diskrete Mathematik  → Dissertationen 

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http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:hebis:34-2772

Titel: Fourier-Matrizen und Ringe mit Basis
Autor(en): Cuntz, Michael
Schlagworte (SWD): DarstellungstheorieTafelalgebraSpiegelungsgruppeFourier-TransformationEndliche Lie-Gruppe
Klassifikation (DDC): 510 - Mathematik (Mathematics)
Erscheinungsdatum: 2-Aug-2005
Zusammenfassung: Bei der Bestimmung der irreduziblen Charaktere einer Gruppe vom Lie-Typ entwickelte Lusztig eine Theorie, in der eine sogenannte Fourier-Transformation auftaucht. Dies ist eine Matrix, die nur von der Weylgruppe der Gruppe vom Lie-Typ abhängt. Anhand der Eigenschaften, die eine solche Fourier- Matrix erfüllen muß, haben Geck und Malle ein Axiomensystem aufgestellt. Dieses ermöglichte es Broue, Malle und Michel füur die Spetses, über die noch vieles unbekannt ist, Fourier-Matrizen zu bestimmen. Das Ziel dieser Arbeit ist eine Untersuchung und neue Interpretation dieser Fourier-Matrizen, die hoffentlich weitere Informationen zu den Spetses liefert. Die Werkzeuge, die dabei entstehen, sind sehr vielseitig verwendbar, denn diese Matrizen entsprechen gewissen Z-Algebren, die im Wesentlichen die Eigenschaften von Tafelalgebren besitzen. Diese spielen in der Darstellungstheorie eine wichtige Rolle, weil z.B. Darstellungsringe Tafelalgebren sind. In der Theorie der Kac-Moody-Algebren gibt es die sogenannte Kac-Peterson-Matrix, die auch die Eigenschaften unserer Fourier-Matrizen besitzt. Ein wichtiges Resultat dieser Arbeit ist, daß die Fourier-Matrizen, die G. Malle zu den imprimitiven komplexen Spiegelungsgruppen definiert, die Eigenschaft besitzen, daß die Strukturkonstanten der zugehörigen Algebren ganze Zahlen sind. Dazu müssen äußere Produkte von Gruppenringen von zyklischen Gruppen untersucht werden. Außerdem gibt es einen Zusammenhang zu den Kac-Peterson-Matrizen: Wir beweisen, daß wir durch Bildung äußerer Produkte von den Matrizen vom Typ A(1)1 zu denen vom Typ C(1) l gelangen. Lusztig erkannte, daß manche seiner Fourier-Matrizen zum Darstellungsring des Quantendoppels einer endlichen Gruppe gehören. Deswegen ist es naheliegend zu versuchen, die noch ungeklärten Matrizen als solche zu identifizieren. Coste, Gannon und Ruelle untersuchen diesen Darstellungsring. Sie stellen eine Reihe von wichtigen Fragen. Eine dieser Fragen beantworten wir, nämlich inwieweit rekonstruiert werden kann, zu welcher endlichen Gruppe gegebene Matrizen gehören. Den Darstellungsring des getwisteten Quantendoppels berechnen wir für viele Beispiele am Computer. Dazu müssen unter anderem Elemente aus der dritten Kohomologie-Gruppe H3(G,C×) explizit berechnet werden, was bisher anscheinend in noch keinem Computeralgebra-System implementiert wurde. Leider ergibt sich hierbei kein Zusammenhang zu den von Spetses herrührenden Matrizen. Die Werkzeuge, die in der Arbeit entwickelt werden, ermöglichen eine strukturelle Zerlegung der Z-Ringe mit Basis in bekannte Anteile. So können wir für die meisten Matrizen der Spetses Konstruktionen angeben: Die zugehörigen Z-Algebren sind Faktorringe von Tensorprodukten von affinen Ringe Charakterringen und von Darstellungsringen von Quantendoppeln.In his classification of irreducible characters of a finite group of Lie type, Lusztig developes a theory in which a so-called non abelian Fourier Transformation emerges. This is a matrix which only depends on the Weyl group of the group of Lie type. Geck and Malle set up a system of axioms based on the properties such a Fourier matrix should have. Using this system BrouŽe, Malle and Michel construct analogous transformations for the spets, which until now remain mysterious objects. The goal of the thesis is an investigation and new interpretation of these Fourier matrices, which could reveal further information about the spets. The tools we develop thereby have a wide range of applications because these matrices correspond to certain algebras which essentially have the properties of table algebras. These are important in representation theory, because representation rings, for example, are table algebras. In the theory of Kac-Moody algebras there is the so-called Kac-Peterson matrix, which also has the properties of our Fourier matrices. Malle defines Fourier matrices for the imprimitive complex reflection groups. An important result of the present thesis is that these matrices yield algebras with integer structure constants. To prove this we have to look at exterior products of group rings of cyclic groups. We also give a connection to the Kac-Peterson matrices: we prove that exterior products of matrices of type A(1)1 are matrices of type C(1)l . Lusztig showed that some of his Fourier matrices belong to the representation ring of the quantum double of a finite group. Therefore we first try to identify the matrices of the spets as some of these. Coste, Gannon and Ruelle explore the S and T matrices of this representation ring called modular data and ask if it is possible to recover the finite group from given matrices. We give a counter example. We also compute the representation ring of a twisted quantum double for many small groups. To do this, we have to compute elements of the third cohomology group H3(G,C×) explicitly. An algorithm for this computation does not seem to have been implemented yet in any computer algebra system. Unfortunately we do not find a connection between the twisted modular data and the matrices coming from spets. The tools which are developed in the thesis allow a structural decomposition of based rings into well-known parts. We describe constructions for most of the rings associated to the spets: they are factor rings of tensor products of affine rings, character rings and of representation rings of quantum doubles.
URI: urn:nbn:de:hebis:34-2772
Sammlung(en):Dissertationen

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